[지식] 재미로 보는 신규확진자 코로나 그래프 분석

그래프 출처 https://aatishb.com/covidtrends/ 

 

  오이갤에 눈팅만 하다가 재미난 그래프가 있어서 글작성해봤습니다. 저는 감염병이나 통계전문가는 아닙니다. 학부생 수준의 수학과 과학지식으로 그래프를 분석해봤습니다. 저 그래프는 각 나라별 확진자(x축)와 신규확진자(y축) 그래프입니다. 특이한 점은 두개 축이 로그(Log)스케일인데 추후에 설명하겠습니다.

 Y = 신규확진자~d(X)/dt=총확진자변화량   X= 총확진자 t= 시간 a= 상수1 b= 상수2 C=상수

 위 그래프는 선형 그래프기 때문에 수식으로 쓰면 Log(Y)=a'Log(X)+C -> Log(d(X)/dt))= aLog(X)+C 로 쓸 수 있습니다.

로그부분을 제거하면 

                                                              d(X)/dt= CX^a 

입니다. 상수 a는 전파모델과 관련있을 것 같습니다. 바이러스 신규확진자 그래프의 기울기가 a=1 입니다. 그래서 신규확진자와 총확진자 관계는 Y~d(X)/d(t)=CX 이고 미분방정식을 풀면 X=b Exp(Ct)입니다. 시간에 따라 기하급수적으로 증가하는 형태를 보입니다. 미분방정식을 해석하면 모두가 이해할만한 내용 '감염자 수만큼 감염속도가 증가한다' 를 알 수 있습니다.즉 신규확진자는 총 확진자에 비례합니다.. 

 원래 면역이 있는 사람도 없고 회복된 사람도 많지 않아 아주 심플한 형태의 결과가 나온 것 같습니다. 지금 코로나바이러스는 감염자수에 비례해 신규확진자가 발생하고 있습니다. 일정 확진자수가 증가하고 한국처럼 그래프가 꺽이기 시작하는데, 이는 두가지로 해석할 수 있습니다. 회복한 사람이 생겨서 전파력이 약해졌거나 감염자를 격리시켜 전파력이 약해진 경우입니다. 이 경우 미분 방정식이 d(x)/dt= CX- C'X^b 로 바뀝니다. 공학적으로 확진자-확진자(혹은 면역)가 만났는데 전파하지 못해서 혹은 만났어야할 확진자-확진자 사건이 사라져서 생긴 마이너스 텀이 생긴 것입니다. 현 시점에서 당연히 후자에 의한 결과입니다. 한국과 호주는 조치가 상대적으로 빠른 편이고, 스페인이탈리아도 그래프가 꺽이기 시작했습니다. 미국은 아직 멀었습니다.

 중국도 그래프 추세를 잘 따르고 있습니다. 통계가 정확하거나 적어도 자기들 기준에 맞게 통계표본을 모았다고 생각합니다. 그 기준이 옳은지 틀린지 여러분 생각에 맡기겠습니다. (적어도 통계수치 자체를 고친것 같지 않습니다.)

 여러분도 보시다시피 통계가 특이한 나라가 두개 있습니다. 하나는 홍콩이고 하나는 일본입니다. 홍콩은 일단 표본이 상대적으로 많지않고 기울기 1 그래프에서 크게 벗어나지 않아서 문제 없을 것 같습니다. 일본은 표본도 충분한데 혼자 처음부터 끝까지 완전 이상한 그래프를 보여주고 있습니다. 통계가 정확하지 않다는 증거입니다. 가장 최근 그래프의 경우 기울기가 2가 넘습니다. 수학적 모델로 d(X)/dt= C'X^2 (X^2의 크기가 커 X부분을 무시)가 됩니다.

 이것을 어떻게 해석해야할까 고민을 많이 했습니다. 만약 저 모델이 사실이라면 끔직한 결말을 볼 수 있습니다. 참고로d(X)/dt= C'X^2 미분방정식을 풀면 x=a/(C-t)가 나옵니다. 정상적인 모델(a=1)은 시간이 무한대로 갈때 확진자가 무한히 증가하지만. 비정상적모델(a=2)일때는 시간이 어느시점(C=t)에 도달할때 확진자가 무한이 됩니다. 

 

 더 그럴싸한 설명은 x축 Total confirmed case이 총감염자수를 제대로 반영하지 못한 것입니다 위 그래프에서 미분방정식 관계를 도식화 할때 신규감염자와 총감염자는 확진자와 상관관계가 있다는 가정이 있는데 그 가정이 무너진겁니다. 보정하기 위해서 기울기의 x축을 대충 두배로 늘려야 합니다. 현재 신규확진자 추세를 봤을때 총확진자는 최소 만명이 나왔어야 정상인거 같습니다. 

 저는 전문가가 아니니 재미로 보면 좋겠습니다.

~덧 : 원래 감염병그래프는 SIR모델에 의해 복잡하게 설명되는데 코로나 바이러스는 면역을 가진사람도 없고, 치료된 사람도 적어서 간단하게 감염자 하나의 변수로 경향성 그래프가 나온 것 같습니다.

3줄 요약

1. 코로나 바이러스는 감염자수에 비례해 신규감염자가 발생하고 있어서 지수함수형태=기하급수적으로 감염자가 발생하고 있다.

2. 중국의 통계 기준은 믿기 어려울 수 있지만 적어도 수치자체를 조작하는 것 같지 않다.

3. 일본은 혼자 경향에 벗어나 있으며, 통계가 왜곡되어 있다. 그래프로 추청할때 최소 만명의 확진자가 나왔어야 했고, 감염자는 그 이상있을 것이다.