[잡담] 투표수 동일할 확률 계산식

A도시 B도시
가후보 나후보 그리고 나머지 후보의 경우 3가지 경우로 분배한다

각 도시 투표 인구수 a , b

각 후보에 대한 투표확률
A도시 p1a p2a p3a (p1a+p2a+p3a=1)
B도시 p1b p2b p3b (p1b+p2b+p3b=1)
라하면

가후보와 나후보의 투표수가 동일할 확률은 다항계수를 통해
Sum[Sum[((a!)/((i-j)!*j!*(a-i)!))*(p1a^(i-j)*p2a^j*p3a^(a-i))*((b!)/((i-j)!*j!*(b-i)!))*(p1b^(i-j)*p2b^j*p3b^(b-i)),{j,0,i}],{i,0,Min(a,b)}]
로 계산할수 있다

안쪽 내부항은 가후보 i-j명 나후보 j명으로 동일하게 뽑혔을 경우로

앞식 ((a!)/((i-j)!*j!*(a-i)!))*(p1a^(i-j)*p2a^j*p3a^(a-i))는
a명이 i-j명 j명 a-i명으로 분배되는 경우의 수에 각 분배수에따른 확률을 그만큼 횟수를 곱해준 것이고

뒷식도 b명에 대해 동일하게 진행한 것으로

두 확률을 곱해준다

이를 0부터 a,b 중 작은 수까지에 대하여 모든 확률을 더하는 것으로 두 후보의 투표수가 동일할 확률이 계산된다