[수다] 수열 문제풀이

문제) 수열 aₙ이 aₙ₊₂ - 4aₙ₊₁ + 5aₙ = 0을 항상 만족하고,
a₁=1, a₂=4라면, 수열 aₙ의 일반항은?

풀이) α+β = 4, αβ = 5라고 가정하면
aₙ₊₂ - 4aₙ₊₁ + 5aₙ = aₙ₊₂ - (α+β)aₙ₊₁ + αβaₙ = 0
이를 적절히 바꾸면
i) aₙ₊₂ - αaₙ₊₁ = β(aₙ₊₁ - αaₙ)
ii) aₙ₊₂ - βaₙ₊₁ = α(aₙ₊₁ - βaₙ)
로 바꾸어진다.

i)식에서 bₙ = aₙ₊₁ - αaₙ라 하면, b₁ = a₂ - αa₁ = 4 - α = β
bₙ₊₁ = βbₙ → bₙ = βⁿ⁻¹b₁ = βⁿ
따라서 aₙ₊₁- αaₙ = βⁿ
마찬가지로 ii)식도 동일하게 풀면 aₙ₊₁ - βaₙ = αⁿ

두 식을 연립하면, aₙ = (βⁿ - αⁿ) / (β - α)
α + β = 4, αβ = 5를 풀면 α, β = 2 ± i 이므로
aₙ = [(2 + i)ⁿ - (2 - i)ⁿ ] / 2i

대충 대입 논술시험 난이도