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[공부] 고등학교 수학문제도 질문해도 될까요?

아이콘 Bulizzard
댓글: 8 개
조회: 2510
2016-03-07 16:54:33

3수 준비중인 학생입니다

 

다름이 아니라 수학 공부중에 도저히 제 머리로는 이해가 불가능한 문제가 있어 도움을 좀 구하고자 글좀 써봅니다.

 

  초항이 a이고 공차가 -4인 등차수열 {An}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하자,

  모든 자연수 n에 대하여 Sn < 200 일 때, 자연수 a의 최댓값을 구하시오.

 

문제의 전문은 이것이고요, 풀이과정 중에서 등차수열의 합 공식을 이용하면, Sn = n/2{2a-4(n-1)} 라는 식이 나오고,

이 식을 a에 대해서 정리해 봤더니

 

  2n^2 + 200  > (a+2)n

 => 2n + 200/n > a+2 가 나왔습니다.

 

이곳에서 더이상 풀이가 불가능해서 생각을 더 해보다가 해설지를 봤더니 산술기하 평균을 사용하여,

 

  2n + 200/n >= 2*루트(2n*200/n) = 40 식의 결론을 도출하여

 

  a+2 < 40

 

  a < 38

 

문제를 마무리 짓더군요, 여기서 산술기하 평균을 사용하는 이유를 좀 묻고싶습니다. 혹은 고등학교 과정 내에서 다른 방법을 알고계시다면 좀 알려주시기를 부탁드려 봅니다.

 

게시판의 취지와 맞지않아 불미스러운 일이 발생시 바로 삭제하겠습니다. 감사합니다.

Lv79 Bulizzard

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댓글(8)

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  • 민호구16-03-07 18:30
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    음..
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  • 민호구16-03-07 18:30
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    최대최소를 구할수 있는 방법은 굉장히 다양해요.
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  • 민호구16-03-07 18:31
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    우선 이차방정식으로도 최대최소를 구할수 있고 미분이나 산술기하처럼 되게 다양한 방법이 있는데
    그냥 해설에서는 산술기하를 이용해서 값을 찾는 방법으로 풀어둔거 같네요.
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  • 민호구16-03-07 18:32
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    교과 과정 내에서 최대최소를 찾을수 있는 방법 중 한 가지를 저 상황에 대입했을때 가장 쉽게 답을 찾을수 있는게 산술기하라서 그러지 않았나 싶습니다.
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  • 민호구16-03-07 18:36
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    직접 계산해 보지는 않아서 될지는 모르겠지만 ㄷ른 방법으로 풀어보라면 

    2n+200/n > a+2 라는 식의 양변에 n을 곱해서, (n은 양수기 때문에 부호는 바뀌지 않습니다)

    2n^ + 200 > (a+2)n 의 꼴로 바꾼 뒤에

    우변을 좌변으로 이항하면 이차함수의 기본형이 보이는데 이 식을 그래프로 그려서 찾거나 미분을 이용하면 찾을수 있을것 같네요.
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  • Bulizzard16-03-08 12:50
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    그렇군요.. 다른방법으로도 함 풀어봐야게씁니다
    답변 감사드립니다
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  • 토리첼리16-03-07 21:48
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    n곱하고 2로 나눠서 식 정리하면
    n^2 -1/2(a+2)n+100>0
    기울기는 +인데 0보다 항상 커야하므로 방정식의 값이 0이되는(그래프가 n축과 닿는) n의 값이 있으면 안되겠죠
    즉, 1/2(a+2)부분이 중근을 갖는 경우인 20보다 작아야합니다(크면 두 실근)
    1/2(a+2) < 20
    a<38

    저라면 이렇게 풀었을것 같네요
    답글
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  • Bulizzard16-03-08 12:52
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    이런 방법도 있군요
    답변 감사드립니다
    답글
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