3수 준비중인 학생입니다
다름이 아니라 수학 공부중에 도저히 제 머리로는 이해가 불가능한 문제가 있어 도움을 좀 구하고자 글좀 써봅니다.
초항이 a이고 공차가 -4인 등차수열 {An}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하자,
모든 자연수 n에 대하여 Sn < 200 일 때, 자연수 a의 최댓값을 구하시오.
문제의 전문은 이것이고요, 풀이과정 중에서 등차수열의 합 공식을 이용하면, Sn = n/2{2a-4(n-1)} 라는 식이 나오고,
이 식을 a에 대해서 정리해 봤더니
2n^2 + 200 > (a+2)n
=> 2n + 200/n > a+2 가 나왔습니다.
이곳에서 더이상 풀이가 불가능해서 생각을 더 해보다가 해설지를 봤더니 산술기하 평균을 사용하여,
2n + 200/n >= 2*루트(2n*200/n) = 40 식의 결론을 도출하여
a+2 < 40
a < 38
문제를 마무리 짓더군요, 여기서 산술기하 평균을 사용하는 이유를 좀 묻고싶습니다. 혹은 고등학교 과정 내에서 다른 방법을 알고계시다면 좀 알려주시기를 부탁드려 봅니다.
게시판의 취지와 맞지않아 불미스러운 일이 발생시 바로 삭제하겠습니다. 감사합니다.
Bulizzard
그냥 해설에서는 산술기하를 이용해서 값을 찾는 방법으로 풀어둔거 같네요.
2n+200/n > a+2 라는 식의 양변에 n을 곱해서, (n은 양수기 때문에 부호는 바뀌지 않습니다)
2n^ + 200 > (a+2)n 의 꼴로 바꾼 뒤에
우변을 좌변으로 이항하면 이차함수의 기본형이 보이는데 이 식을 그래프로 그려서 찾거나 미분을 이용하면 찾을수 있을것 같네요.
답변 감사드립니다
n^2 -1/2(a+2)n+100>0
기울기는 +인데 0보다 항상 커야하므로 방정식의 값이 0이되는(그래프가 n축과 닿는) n의 값이 있으면 안되겠죠
즉, 1/2(a+2)부분이 중근을 갖는 경우인 20보다 작아야합니다(크면 두 실근)
1/2(a+2) < 20
a<38
저라면 이렇게 풀었을것 같네요
답변 감사드립니다