[잡담] 3저격하는데 드는 잊영 수학적 계산

그냥 심심해서 챗gpt한테 수학적으로 3저격하는데 드는 잊힌영혼 갯수를 평균적으로 계산해달라고 하니까 고유는 1147개, 전설템은 1904개라고 합니다.

제가 잊힌영혼 20000개 썼다고 하는 분을 봤는데 상식적으로 이해가 안가서 그것도 물어봤습니다. 20000개가 들 확률을 구해달라고 했더니 0.00003% 라고 하네요. 로또랑 비슷한 수준인데... 구라인걸로....

아래는 챗gpt 답변입니다.

🔁 문제 요약
　•　선택지는 a, b, c, d, e, 즉 총 5가지 중 하나가 랜덤으로 나옴
　•　각 단계마다 a가 나와야 다음 단계로 진행
　•　각 단계에서 선택할 때마다 잊힌영혼이 사용됨
　•　실패했을 때는 1개를 추가로 사용하고 → 처음부터 다시
　•　각 단계마다 성공 시 사용되는 잊힌영혼의 양:
　•　1단계 선택: 6개
　•　2단계 선택: 31개
　•　3단계 선택: 51개
　•　실패했을 때는 (a가 아닌 게 나왔을 때) → 1개를 소모하고 처음으로 돌아감
　•　잊힌영혼은 랜덤값을 알기 위해서 사용되는 것이므로, 랜덤값을 보기 위해 꼭 써야 함

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🧮 단계별 기대값 (Expected Value)

우리는 기대치를 E₁이라 정의합니다.
E₁ = aaa 조합이 나올 때까지 평균적으로 쓰게 되는 잊힌영혼 개수

이 문제는 마르코프 체인처럼 다음 상태로 넘어가는 과정에 실패하면 리셋되는 구조이므로, 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

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Step 3: 마지막 단계 기대값 E_3
　•　성공 확률: frac{1}{5}
　•　실패 확률: frac{4}{5}
　•　성공하면: 51개 사용하고 종료
　•　실패하면: 51개 사용 + 1개 벌칙 = 52개 사용 후 처음부터 다시

E_3 = frac{1}{5} cdot 51 + frac{4}{5} cdot (51 + 1 + E_1) = frac{1}{5} cdot 51 + frac{4}{5} cdot (52 + E_1)

E_3 = 10.2 + 0.8 cdot (52 + E_1) = 10.2 + 41.6 + 0.8 E_1 = 51.8 + 0.8 E_1

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Step 2: 두 번째 단계 기대값 E_2
　•　성공하면: 31 사용 + E₃로 진행
　•　실패하면: 31 사용 + 1 벌칙 + 다시 E₁

E_2 = frac{1}{5}(31 + E_3) + frac{4}{5}(32 + E_1)

E₃ 대입:

E_2 = frac{1}{5}(31 + 51.8 + 0.8 E_1) + frac{4}{5}(32 + E_1)
= frac{1}{5}(82.8 + 0.8 E_1) + frac{4}{5}(32 + E_1)

= 16.56 + 0.16 E_1 + 25.6 + 0.8 E_1 = 42.16 + 0.96 E_1

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Step 1: 시작 단계 기대값 E_1
　•　성공하면: 6 사용 + E₂ 진행
　•　실패하면: 6 사용 + 1 벌칙 + 다시 E₁

E_1 = frac{1}{5}(6 + E_2) + frac{4}{5}(7 + E_1)

정리:

E_1 = 0.2 (6 + E_2) + 0.8 (7 + E_1) = 1.2 + 0.2 E_2 + 5.6 + 0.8 E_1

E_1 - 0.8 E_1 = 6.8 + 0.2 E_2 Rightarrow 0.2 E_1 = 6.8 + 0.2 E_2
Rightarrow E_1 = 34 + E_2

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🔁 다시 대입

위에서 E_2 = 42.16 + 0.96 E_1

E_1 = 34 + 42.16 + 0.96 E_1 = 76.16 + 0.96 E_1
Rightarrow E_1 - 0.96 E_1 = 76.16
Rightarrow 0.04 E_1 = 76.16
Rightarrow E_1 = frac{76.16}{0.04} = 1904

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✅ 정답

기대 소모량: 평균적으로 약 1904개의 잊힌영혼이 필요합니다
→ aaa를 뽑을 때까지 이만큼 쓰이게 되는 구조입니다.

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필요하면 시뮬레이션으로 확인도 가능하고, 다른 확률 구조(예: 선택지 개수 변경 등)도 계산해드릴게요!