[아이템] 패치 후 등업 기댓값

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선요약

구하는 방법

천장이 생겨 1/확률로 구하던 때와는 달리 좀 복잡해졌습니다.

최종 기댓값 = 천장을 쳤을때의 기댓값 + 천장 이전의 기댓값이라고 생각합시다.

1. 천장칠 확률 구하기

천장이란 미리 정해놓은 등업 실패 횟수를 채우는 것을 뜻합니다. 즉,

천장 칠 확률 = (1-등업확률)^정해진 천장 횟수 이고 그 확률은 다음과 같습니다.

1-1. 천장을 쳤을 때의 기댓값 구하기

천장을 찍은 후 다음 큐브에선 등업을 하게 되므로

천장을 치면 쓰는 큐브= 정해진 천장 횟수 + 1

즉, 천장 쳤을 때 기댓값 = 천장을 치면 쓰는 큐브*천장 칠 확률 이고 천장을 찍는데 드는 큐브의 기대값은

2. 천장 이전의 기댓값 구하기

1개의 큐브를 썼을 때 등업 확률 = 등업확률

2개의 큐브를 쓰고 2번째에 등업 할 확률 = 등업확률*(1-등업확률)

3개의 큐브를 쓰고 3번째에 등업 할 확률 = 등업확률*(1-등업확률)^2

....

n개의 큐브를 쓰고 n번째에 등업 할 확률 = 등업확률*(1-등업확률)^(n-1)

이고, 각 확률에 n을 곱해주면 각 항에 대응하는 큐브 소모 기댓값이 나옵니다.

이를 모두 더함으로 천장 이전의 기댓값을 구합니다.

양이 방대하여 엑셀시트를 첨부하니 참고해주세요.

모두 계산한 결과 각 큐브, 등급의 천장 이전 기댓값은 다음과 같습니다.

천장이 없는 큐브는 1/등업확률로 계산하였습니다.

3. 최종 계산하기

모든 큐브의 천장 쳤을 때의 기댓값과, 천장 치기 이전의 기댓값이 구해졌으니 더하기만 하면 끝입니다.