예전 플포 법게를 드나들던 시절부터 T4몰열 발동 확율에 관한 수식이 떠돌았다.
출처는 정확히 모르겠지만 지금까지도 일부 법사들에게 기억되고 있고 나 역시 그 수식을 기억하고 사용하고 있다.
그런데 화법의 종말을 고하는 (정확히는 비법 시대 도래를 알리는...) 4.1패치에 즈음하여 나는 이 오래된 수식에 대해 단 한 번도 의심을 품거나 증명해보려 한 적 없다는 사실에 놀라게 됐다.
해서 마침 패치가 적용될 오늘 지나치게 일찍 일어나 머리가 맑은 김에 기억하는 사람은 누구나 기억하는 T4몰열 발동 확율을 유도해볼까 한다.
1. 흔히들 많이 사용하는 수식....
T4 몰열 발동확율의 계산 방식을 물으면 대부분 C^2이란 수식을 떠올린다.
즉, 두 개의 화염구가 연달아 극대화를 일으켜야 하니 C^2이 그 사건에 대응한 확율이란 말이다.
이것은 과연 맞는 말일까?
당신이 단 두 번의 화염구만 시전하고 그로 인해 몰열이 발동될 확율을 생각한다면 맞는 말이다.
그러나 우리는 어떤 전투에서 단 두 번의 화염구만 시전하지는 않는다.
간단한 예를 들어보자.
100번의 화염구를 시전하는데 그중 31번째 화염구와 32번째 화염구로 인해 몰열이 발동할 확율은 얼마인가?
여전히 C^2인가?
아니다. 만일 30번째 화염구가 극대화를 일으켰다면?
몰열은 32번째 화염구가 아닌 31번째 화염구에 의해 발동될 것이다.
그런데 이것도 꼭 그런 것은 아니다.
29번째 화염구도 극대화를 일으켰다면 30번째 화염구에 몰열이 발동되고 이후 소모될 것이기에
여전히 31번째 화염구와 32번째 화염구는 몰열을 발동시킬 수 있기 때문이다.
그런데 이것도 언제나 그렇지는 않다.
만일 28번째 화염구가 극대화를 일으켰다면......
(이런 식으로 따지면 결국 첫번째 화염구의 극대화 여부가 31,32 번 째 화염구가 몰열을 발동시킬 수 있는가와 연관되어 있다.)
이런 식으로 단 두 번의 화염구만 시행하는 사건이 아닌 이상 C^2이란 수식은 화염구로 인한 몰열 발동확율을 적절하게 표시해주지 못한다.
여러개의 화염구 시행 중에 연이은 두 개의 화염구가 몰열을 일으킬 확율은 그 전에 시행된 모든 화염구가 극대를 일으켰는지 여부와 관련되어 있기 때문이다.
2. 접근 방식을 바꾸어 보자.
여러 번의 화염구가 시행되었다고 하자.
그 중 N번째 화염구로 인해 몰열이 발동될 확율은 얼마일까?
먼저 화염구N(N번째 화염구)과 화염구(N-1)은 극대화를 일으켜야 한다.
ㄱ.
그리고 맘 편하게 화염구(N-2)가 극대화를 일으키지 않는다면?
화염구N은 몰열을 언제나 몰열을 발동시킨다.
이 사건의 발생 확율은 C^2*(1-C)다.
ㄴ.
화염구(N-2)가 극대화를 일으켰다면?
화염구(N-1)로 인해 몰열이 발동되어 화염구(N)이 몰열을 일으키지 못하게 되지 않기 위해선...
화염구(N-2)가 몰열을 발동시켜야 한다.
따라서 화염구(N-4), 화염구(N-3)은 모두 극대화로 적중되어야 하고
화염구(N-5)가 극대화를 일으키지 않으면 된다.
이 사건의 발생 확율은 C^4*(1-C)다.
ㄷ.
만일 ㄴ의 경우 화염구(N-5)가 극대화를 일으킨다면?
ㄴ에서와 같은 이유로
화염구(N-6), 화염구(N-5)가 극대화를 일으켜야 하고
화염구(N-7)이 극대화를 일으키지 않으면 된다.
이 사건의 발생 확율은 C^6*(1-C)다.
ㄹ. 이와 같은 방식으로 계속해서 생각해 나가면....
모든 사건의 발생 확율의 합, 다시 말해 N번째 화염구가 몰열을 발동시킬 확율을 구할 수 있게 된다.
그 식은 다음과 같다.
C^2 * (1-C) * [ 1 + C^2 + C^4 + C^6 +...............+ C^2(N-1)]
3. 수학적 정리.
2 과정을 통해 얻어진 수식 중 [........] 부분에 주목해보자.
이것은 고등학교 시절 배웠던 수열과 극한의 개념을 떠올리게 한다.
좋다! 고등학교 시절로 돌아가 보자.
(아래 부분에서 수학적 기호를 활용하지 못하기에 말로 풀어씀을 이해해 주십시오)
X^(n-1) 이란 수열이 존재할 때 그 합은 얼마였던가?
n을 무한대로 보낼 때 1/(1-x) 였다.
그럼 우린 위에서 구한 수식을 이렇게 간단하게 만들 수 있다.
N을 무한대로 보낼 때 [ .....] 부분은 1/(1-C^2)으로 간단히 표기될 수 있고
2에서 구해진 수식은 결국
C^2 * (1-C) * [ 1 + C^2 + C^4 + C^6 +...............+ C^2(N-1)]
=
C^2 * (1-C) * [1/(1-C^2)]
으로 정리된다.
여기서 다시 고등학교 때 배웠던 인수분해를 사용해보자.
1-X^2 = (1-X)(1+X)
대입하면
C^2 * (1-C) * [1/(1-C^2)]
=
C^2 * (1-C) * [1/{(1-C)(1+C)}]
=
C^2/(1+C)
짜잔!
많은 법사들이 기억하는 익숙한 수식이 도출됐다.
(이 링크는 T3 몰열 발동 방식 및 T4 몰열 발동 방식에 관한 그래프를 직관적으로 보여줄 수 있다고 생각합니다. 위에서 구해진 수식이 어떤 의미인지 보다 직관적으로 알고 싶으시다면 누르십시오!)
(수식의 한계 등에 관한 내용은 혼란을 가중하기에 삭제합니다.)
ps : '일반적으로' 당신이 어떤 화염구로 인해 몰열을 발동시킬 확율은 C^2/(1+C) 입니다.
이에 따를 때 화법들이 선호하는 극대화 확률 45%(풀버프 기준) 수준에서 당신의 화염구가 몰열을 발동시킬 확율은 대략 14%입니다.
즉, 화염구 7번을 던지면 몰열이 한 번 정도 발동한다는 의미입니다.
속병쟁이
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