1. 주팟의 확률지옥
레이드공략 보상으로 주어지는 아이템들은 매주 리셋되는 전형적인 독립시행이고 기하분포를 따릅니다.
기하분포가 뭔데? 성공확률이 p인 독립시행을 반복할 때, 처음으로 먹을 때까지 필요한 횟수를 나타내는 확률분포 입니다.
확률질량함수
P(X=k) = (1-p)^(k-1)*p
p는 단일시행 성공확률, 1-p는 실패확률, k는 첫성공이 발생한 횟수
가르, 남작 게돈의 족쇄드랍율이 3%라고 하니 그 주에 먹을 확률은 이렇게 계산됩니다.
P(X=1) = (1- 0.03)^(1-1)* 0.03 = (0.97)^0 * 0.03 = 0.03 = 3%
P(X=2) = 0.97^1 * 0.03 = 2.91%
P(X=3) = 2.82 %
.
.
평균소요기간(기대값)
E[X] = 1/p = 1/0.03 = 33.3333... 주
단 한 부위를 먹기위한 수학적 시행횟수는 약 33.3333번이니 33~34주에 '구경' 한 번을 할 수 있습니다. 구경입니다...
33주에 1개를 구경했다고 하더라도
P(X =< 33) = 1-(0.97)^33 = 1-0.366 = 63.4%
에 의해 전체유저의 약 36.6%는 여전히 구경조차 못한다는 거...
획득률 63.4%를 잡았을 때 필요한 시행횟수가 33회 였으니
획득률 90%로 잡게 될 때 필요횟수는 76회가 됩니다.
99% 라면 거의 먹었다고 봐도 될 확률이니 먹었다 치면 152회죠.
152주 동안 구경을 못 했다면 그 캐릭 지워야 합니다. 저주받은 캐릭터에요.
게다가 우레폭풍-바람추적자의 성검은 필요한 족쇄가 몇 개?
2개지요!
두 사건은 병령 독립시행이 가능하니 둘 중 아무거나 하나라도 나올 때 걸리는 시간을 계산하면
1주에 둘 사 실패할 확률은 0.97^2 = 0.9409 (94.09%)
1주에 둘 중 하나라도 먹을 확률은 1-0.9409 = 0.0591 (5.91%)
E[min(X1, X2)] = 1/ 0.0591 = 16.9 즉, 17주면 일단 하나는 '구경'을 할 수 있게 됩니다.
문제는 이제 어느 쪽이든 하나를 먹었으니 다른 하나는 역시 3%의 드랍율이니 위에서 이야기 했던 33.33주의 기대값이죠.
즉, 두 부위를 모두 모으는 기대 기간을 대충 계산해도
E[T] = E[min(X1, X2)] + E[남은거] = 16.9 + 33.3 = 50.2 50.2주가 필요하게 됩니다.
정확하게 결합확률로 계산한다면 2/p - 1 / (2p-p^2) = 2/0.03 - 1/0.0591 = 66.67 - 16.92 = 49.75 주가 필요합니다.
단일 족쇄기대값과 비교하면 49.75/33.33 = 1.49 약 1.5배가 더 걸립니다.
이 확률은 완전히 개인주사위일 경우의 확률이고
본섭유저들이 형변을 위해서 매주 화심에서 무쌍을 찍으면서 족쇄를 캐는 확률이면서
골팟이라면 골드로 경쟁자를 다 찍어눌렀을 때의 얻을 수 있는 확률이죠.
수 많은 클래식류 버전을 저도 거쳐오면서 가장 마음에 들지 않았던 건 족쇄 하나에 마콜로 5천골로 박아버리는 공대장들이 가장 마음에 들지 않았습니다. 나 혼자 굴려도 기대획득율이 1년짜리인 아이템을 1만골로 슥삭...
저도 수십개의 캐릭을 투입해서 꽤 오랫동안, 심지어 가끔 블리자드에서 확률도 올려주는 것도 이용해서 도전한 끝에 먹긴 먹었죠. 꽤 걸렸네요. 그래서 형변해놓고 꺼드럭 거리면서 실버문 은행 앞에 세워둡니다.(남들은 아무도 신경 안 씀, 칼각 넣은 A장 입고 휴가나온 느낌으로...)
그럼 순수주팟에서 동등한 입찰권(전/도/성/냥(!?!?!)) 을 가진 N명이 주사위를 굴린다면 획득확률은 p=3%/N 으로 떨어집니다.
1명일 때 50주가 걸리고 1년내 63.4%의 확률로 먹을 수 있었던 우페폭풍이
2명일 땐 100주, 29.7%
3명일 땐 150주, 16.6%
4명일 땐 200주, 10.5%
5명일 땐 250주, 7.2%....
이걸 5천/1만골에 꿀꺽하는 게 얼마나 폭리인지 대충 감이 오시나요?
2. 쿠폰 수집가 문제
다시 돌아와서 이처럼 단일 아이템 1개를 먹기 위해서도 어질어질한 확률을 뚫고 먹어야 하는데 문제는 이런 아이템을 모두 BIS 혹은 BIS에 준하는 아이템으로 맞추기 위해서 총 16부위를 셋팅해야 합니다.
각 방어구 티어를 모은다고 칩시다.
한 주에 획득활 확률 p=Pdrop * Proll 로 정의할 수 있습니다.
뭐 넉넉하게 드랍율은 20%, 경쟁률은 9직업이니 최소 4~5명, 5명으로 잡으면 20%, 주간 획득 확률은 0.20 * 0.20 = 0.04 (4%) 기대주수는 1/0.04 = 25주
무기나 장신구 같은 핵심부위는 드랍율이 더 낮으니 넉넉하게 잡아서 10%(넬타리온 같은 건 아마 3% 족쇄보다 더 낮았던 걸로 기억합니다만 그냥 넉넉하게... 그리고 단일품이기도 하니)
경쟁율은 최소로 잡아도 10명 이상은 될테니 15명으로 잡는다면 6.7%, 주각 획득 확률은 0.10 * 0.067 = 0.0067, 기대주수는 1/0.0067 = 149주
아이템을 먹는데 필요한 수학적 평균 시간만 단 1개의 티어부위는 반년, 단 1개의 핵심부위는 2년이 넘습니다.
이렇게 계산하니 우레폭풍이 만골이라고 하니 더 어질어질 하시죠?
암튼 포켓몬빵/띠부씰 모으거나 왕년에 컬랙션 좀 하셨던 분들은 아시겠지만 제한된 콜랙션을 모을 때 마지막 1개를 채우기 위해서 뜯어야 하는 빵봉지의 수를 계산할 때 확률론에서는 쿠폰 수집가 문제라고 부릅니다.
총 n 종류의, 같은 확률의, 서로 다른 쿠폰을 모을 때 필요한 총 시행횟수 T의 기대값은 조화급수의 합으로 나타냅니다.
E[T] = n ∑ (i=1 to n) 1/i = nHn
즉, 파밍 초반에는 아무 거나 먹어도 되서 생각보다 파밍이 잘 되는 것처럼 보입니다. 문제는 부위를 모으면 모을수록 유효획득확률이 기하급수적으로 꼬라박으면서 막판 1-2개를 남겨둔 상태에선 유효획득확률이 소수점 아래로 아득히 떨어진다는 것이죠.
레이드는 보스를 여러 놈 잡는 병령 시행이므로 정말 넉넉하게 봐줘서 모든 부위를 20%의 드랍율로 5명끼리만 경쟁한다고 쳐도
T= max(X1, X2, ... , X16) 로 계산하면
20주(평균 와우 1시즌) 단일 1부위 획득 확률은 55.8%, 최종졸업은 0.0088%
52주에 단일 1부위 획득 확률은 88.0%, 최종졸업은 13.0%
78주에 단일 1부위 획득 확률은 95.9%, 최종졸업은 50.8%
104주에 단일 1부위 획득 확률은 98.6%, 최종졸업은 79.4%
만약 각 부위마다 드랍율을 따로하고 더 정확하게 계산하기 위해 기하분포의 누적분포를 넣게 되면
P(T=<n) = ∏(i=1 to 16) [1-(1-pi)^n] 으로 계산해서... (자세한 설명은 생략한다... GPT 에 한 번 넣어보심이...)
당연히 확률적으로는 더 어려운 상황에 직면하게 됩니다.
주팟으로 1명의 졸업자를 배출하기 위해 필요한 최소인원이 11364명이라는 것이죠.
1년이 되야 8명당 1명꼴로 졸업자가 생길 수 있게 됩니다.
이 더러운 확률론적 지옥을 경험한 일부 유저들이 해결책을 제시하게 되는데 그것이 바로!!!
자본주의 금용 공학의 결정체! GDKP, 골드팟, 황금팟(골팟이 금지어라면서요?) 이었습니다.
(서버 열린 줄도 몰랐네요. 가즈아!! 2편 골팟은 다음에...)
좋은이
