[일반] [계량품질학] 품질에 대한 모든 정보

인증글 & 메인 감사합니다 !!

더 양질의 컨텐츠로 찾아뵙겠습니다ㅎㅎ

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안녕하세요.

카단 서버 [만남의지평선] 길드장 AssetPricing 이라고 합니다.

(뉴비 분들 길드 가입 환영해요!)

감사하게도,

몇 달 전 인벤 팁 게시판에 올렸던,

“계량재련학 Chapter 1. 장기백에 대한 이해”

라는 글이 많은 인기를 얻게 되었습니다.

(https://www.inven.co.kr/board/lostark/4821/73836)

바로 다음 Chapter 로 “정확한 재련 계산기” 를 작성해보려 했지만…!

저의 시각화 능력과 전달력의 한계로 해당 주제는 잠시 미루어 두었습니다 ㅠ_ㅠ

***

인벤 팁 게시판에 여러 계산기가 존재하나, 엄밀하게는 좀 더 개선의 여지가 있는 부분이 존재합니다.

예를 들어 같은 20강 ---> 21강의 재련이라 할지라도,

현재 Status 가 첫 번째 트라이인지 또는 열 번째 트라이인지 등에 따라,

축복, 은총, 가호 등 보조 재료 포함 여부에 대한 수리적 최적 선택이 달라집니다.

***

아무튼 이 주제는 잠시 미루어 두고,

이번에는 “품질 및 품질작” 에 대한 내용을 준비해보았습니다. 

많은 분들이 스펙업을 위해 품질작을 시도하고, 그 어려움을 토로하시지만,

막상 품질 관련 확률에 대한 정보와 이에 대한 분석 자료가 전무하여, 이 글을 작성하게 되었습니다.

이 글을 통해 품질 및 품질작에 대한 정확한 이해를 바탕으로,

이 글을 보시는 모두가 높은 품질의 무기와 방어구를 얻게 되셨으면 좋겠습니다.

긴 글 읽어주셔서 미리 감사드립니다.

이 글을 작성할 수 있도록 유물 장비 품질과 확률 정보를 제공해주신

[만남의지평선] 길드원분들께 감사드립니다.

대용량빤쓰 님

리온에레스 님

백호씨3 님

워로드영학찡 님

이재훈벼읍신 님

이점붕괴 님

태연한고니 님

테레사클레스 님

흑화된마마님 님

힐러빈 님

감사드립니다.

그 외 모든 길드원분들께도 항상 감사드립니다.

또한, 여러 유튜버 및 스트리머 분들의 영상과 클립을 통해,

품질 성공 확률에 대한 부족한 부분을 채울 수 있었습니다.

기공맨 님, 꿀땅콩 님, 쫀득 님, 김찌릉 님, 랑쯔 님, 봉킹 님, 여니 님, 노돌리 님, 샤리네 님 감사드립니다.

그리고, 품질에 따른 추가 수치를 실험 및 제공해주신

인벤 팁 게시판의 “Iconoclasm” 님의 글도 참조하여 많은 도움이 되었습니다.

감사드립니다.

아래는 “Iconoclasm” 님의 글 링크입니다.

(https://www.inven.co.kr/board/lostark/4821/73272)

계량 (Quantitative) 품질학

목차

          I.   개요

          II.   품질에 따른 추가 수치

          III.   품질작에 대한 이해

          IV.   품질 수치별 달성 확률 (품질 확률표)

          V.   트라이 횟수에 따른 품질 수치 분포

          VI.   목표 품질 달성을 위한 트라이 횟수 분포

          VII.   목표 품질 달성을 위한 기대 비용 및 가성비 산출

          VIII.   결론

I.  개요

군단장 레이드를 통해 얻을 수 있는 유물 무기와 방어구는, 소위 품질작이 가능합니다.

금강선 디렉터님께서 언급하셨듯,

품질 시스템은 게임 내 경제에서 골드 소모를 유도하기 위한 수단으로 만들어졌습니다.

다만, 장비 재련과 달리, 품질작에는 소위 말하는 ‘천장’ 이라는 개념이 존재하지 않습니다.

즉, 장기백 시스템이 존재하지 않기 때문에 아무리 소비한 골드가 많다 하더라도,

운이 극단적으로 없는 경우에는,

100,000번을 트라이해도 원하는 품질을 얻지 못합니다.

그러나, 엔드 스펙 급에서는 사실상 품질작을 통해서만 캐릭터를 큰 폭으로 성장시킬 수 있기 때문에,

현재도 많은 분들이 고통 받고 계시는 것으로 알고 있습니다.

본 글은,

품질에 대하여 수치적 (계량적) 관점에서 정확한 이해를 하고 싶으신 분들을 위해 쓰여졌습니다.

그래프를 많이 활용하여 쉽게 이해하실 수 있도록 노력하였습니다.

특히, 품질 수치에 따른 확률 그래프를 첨부하였습니다.

아마 대부분의 유저분들에게 도움이 될 것으로 기대합니다.

본 글은,

품질에 대한 정확한 이해를 바탕으로 본인의 운을 체크해보는 자료로 쓰시거나,

또는 보유하고 있는 재화로 원하는 품질을 달성할 수 있을지에 대해 가늠해보는 용도로 쓰시면 되겠습니다.

운에 의해 결과가 좌우되긴 하지만,

모든 것은 확률의 손아귀에 있고, 이는 곧 과학의 영역입니다.

II.  품질에 따른 추가 수치

무기와 방어구, 두 가지 종류의 장비에 대해 품질별로 각각 다른 추가 수치가 존재합니다.

무기는 추가 피해, 방어구는 생명 활성력 이라는 스탯을 제공합니다.

아래의 내용은 인벤 게시판 닉네임 “Iconoclasm“ 님의 자료를 바탕으로 쓰여졌습니다.

다시 한 번 감사드립니다.

■  무기

무기는, 품질에 따라 추가 피해 수치가 달라집니다.

예를 들어,

품질이 0일 경우, +10%의 추가 피해 능력치를 갖고 있으며,

품질이 100일 경우, +30%의 추가 피해 능력치를 갖고 있습니다.

추가 피해 수치는 아래와 같은 공식에 의해 정해집니다.

추가 피해 수치 (%) = 10 + 0.002 * (품질)^2

유의할 점은, 위의 수치는 “추가 피해 수치” 라는 것입니다.

즉, +30%의 추가 피해가 +10%의 추가 피해와 비교하여 3배의 피해를 주는 것이 아니라,

대략 1.182배의 피해를 줍니다. (1.30 / 1.10 = 1.1818 …)

아래는 위의 공식을 품질 수치별로 시각화 하여 추가 피해 수치를 나타낸 것입니다.

■  방어구

방어구는, 품질에 따라 생명 활성력 수치가 달라집니다.

예를 들어,

품질이 0일 경우, 0의 생명 활성력 능력치를 갖고 있으며,

품질이 100일 경우, 1400의 생명 활성력 능력치를 갖고 있습니다.

생명 활성력 수치는 아래와 같은 공식에 의해 정해집니다.

생명 활성력 수치 = 140 * 0.001 * (품질)^2

아래는 위의 공식을 품질 수치별로 시각화 하여 생명 활성력 수치를 나타낸 것입니다.

다만, 무기의 추가 피해 수치와 달리, 방어구의 생명 활성력은 그 자체로 정보 전달력을 갖지는 못합니다.

생명 활성력에 따른 추가 최대 생명력 수치는 따로 계산해주어야 하니까요.

캐릭터 정보창에 따르면, 생명 활성력 140당 추가 최대 생명력 수치는 1% 증가합니다.

이를 다시 시각화하여 나타내보면 다음과 같습니다.

아래는 방어구 한 부위에 대한 최대 생명력 증가 수치입니다.

아래는 모든 방어구 다섯 부위에 대한 최대 생명력 증가 수치입니다.

(즉, 위의 그래프에서 단순히 수치들을 5배한 결과입니다.)

대부분의 유저분들이 무기를 중점적으로 품질작을 하시지만,

사실 방어구의 품질작도 못지 않게 중요하다고 생각합니다.

로스트아크의 체력 물약은 특이하게도 고정된 수치의 체력을 회복하는 것이 아닌,

자신의 최대 생명력 대비 일정 퍼센트에 해당하는 체력를 회복하기 때문에,

최대 생명력 수치가 높을수록 체력 회복에서도 이점이 있습니다.

품질에 의한 증가치 수치를 보면,

예를 들어 다섯 개의 모든 방어구를 품질 70이상으로 맞추면 최대 생명력이 대략 +24.5% 증가하게 됩니다.

(물론, 품질 70이 달성하기 쉬운 수치는 아닙니다.)

최대 생명력 증가는,

숙제 컨텐츠를 하는 경우 크게 의미 없는 부분이지만,

신규 레이드를 도전 하는 경우 체력 물약 부족으로 인한 죽음이나,

체력 물약을 아끼다가 끔살 당하는 경우를 방지할 수 있습니다.

잦은 리트라이는 공대원 모두의 집중력 저하로 이어지기 때문에,

최대 생명력이 높다면 본인 뿐만 아니라 다른 공대원들의 피로도를 줄여줄 수도 있습니다.

당연히 클리어하게 될 가능성도 더 높아집니다.

III.  품질작에 대한 이해

■  메커니즘

특정 수치의 품질을 얻는 확률은, 현재의 품질 수치와 무관합니다.

즉, 현재의 품질이 0이든 또는 10이든,

업그레이드 이후 품질 100의 장비를 얻게 되는 확률은 동일합니다.

품질은 차근차근 올라가야 하는 것이 아니라,

단 한 번의 시도로도 고품질을 얻을 수 있습니다.

조금 더 상세하게 설명드리자면, 다음과 같은 메커니즘으로 작동합니다.

(물론 제가 실제 소스 코드를 입수할 수는 없었으나, 당연히 아래와 같은 로직으로 작동할 것으로 추측됩니다.)

(1) 0과 1사이의 난수 (Random Number) 를 생성합니다.

(2) 품질 확률 분포로부터, 해당 난수에 해당하는 품질값이 정해집니다.

(3) 현재의 품질과 비교하여, (2)의 품질값이 높다면 품질 업그레이드에 성공합니다.

(4) 그렇지 않다면, 현재의 품질을 유지합니다.

즉, 품질 업그레이드에 성공했을 시 얻게 되는 고품질은, 현재의 품질 수치와 무관합니다.

■  품질 업그레이드 성공 확률에 대한 정확한 이해

인게임에서 확인할 수 있는 품질 업그레이드 성공 확률은,

현재의 품질을 “초과” 하는 확률을 의미합니다.

즉, 예를 들어 현재의 품질이 69라면,

업그레이드 성공 확률은,

“품질이 69 이상일 확률” 이 아닌,

“품질이 70 이상일 확률” 을 의미합니다.

아래의 첨부 자료를 보시면 명확해집니다.

인게임에서 확인한, 품질이 69인 장비가 업그레이드에 성공할 확률은 3.27% 입니다.

로스트아크 홈페이지에서 공개된 품질 70이상의 장비를 얻을 확률은, 위와 같은 수치인 3.27% 입니다.

IV.  품질 수치별 달성 확률

■  확률 분포 추정

위의 표는 스마일게이트알피지에서 공식적으로 제공한 품질 확률에 관한 자료입니다.

저는 위의 수치를 보고, 각 품질 수치별 확률이,

어떤 특정 Well-Known Distribution Function 으로부터 도출되었을 것으로 추정하였습니다.

더 자세하게는,

[0, 1] 의 Bounded Interval 로부터 확률 값을 갖는 Distribution Function 일 것으로 추정하였고,

Beta Distribution, Logit-Normal Distribution 등을 베이스로 삼고 Fitting 을 시도해보았으나,

Fitting 이 전혀 되지 않고 큰 오차를 가지고 있음을 알게 되었습니다.

이에, 특정 확률 분포로부터 도출된 수치는 아닐 것이라는 추측을 하게 되었고,

아래처럼 품질 수치별 확률 전수 조사를 하기에 이르렀습니다.

■  품질 수치별 확률 전수 조사

전수 조사를 위해 유물 장비를 갖고 계신 길드원분들께 요청드려 수치를 입수하기도 했고,

유튜브 영상으로부터 한 땀 한 땀 각 품질 수치별 확률을 기록하기도 하였습니다.

(다시 한 번 도와주신 분들께 감사드립니다.)

아래는, 해당 조사를 통해 알게 된 품질 수치별 업그레이드 성공 확률입니다.

(빈 칸의 자료는 얻지 못하였습니다.)

해당 표를 자세하게 보시면,

Probability Density Function 은 특정 구간 (10단위의 구간) 에서 일정한 값을 가집니다.

소수점 둘째 자리가 다른 경우도 존재하지만,

이는 둘째 자리까지 반올림한 것에서 기인한 오차라고 생각됩니다.

즉, 품질 수치별 확률 분포는 Step Function (= Piecewise Constant Function) 임을 유추할 수 있습니다.

■  품질 수치별 확률 그래프 (품질 확률표)

이 같은 추측을 바탕으로, 각 품질 수치별 등장 확률을 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.

반올림에 의한 값을 정확하게 유추할 수 없으므로,

전수 조사 대상에서 누락된 품질 수치의 확률 값에서 +/- 0.01% 의 오차는 있을 수 있습니다.

전달력을 위해,

각 품질 수치별 확률 (Probability Density Function, pdf) 가 아닌,

누적 확률 (Cumulative Distribution Function, cdf) 을 기준으로 아래의 그래프를 그렸습니다.

아래는 70 이상의 품질 수치에 대한 달성 확률입니다.

아래는 전체 품질 (5단위) 에 대한 수치별 달성 확률 입니다.

■  코멘트

위의 그래프에서는 생략되어 있으나,

품질 0의 장비를 획득할 확률은 무려 2.29% 에 달합니다.

반대로, 품질 90 이상의 장비를 획득할 확률은 0.86% 밖에 되지 않습니다.

다음 장에서는, 위의 품질 수치별 확률표를 바탕으로

품질작에 대한 분석을 진행해보았습니다.

V. 

트라이 횟수에 따른

품질 수치 분포

본 장에서는, 

단순히 임의로 N회 품질 업그레이드를 트라이 했을 시 얻게 되는 품질 수치의 분포를 알아보겠습니다.

품질 업그레이드는, 현재의 품질 수치 이하로 떨어지는 일을 발생시키지 않습니다.

따라서, 품질 업그레이드를 많이 시도할수록 최종 품질 수치의 분포는 개선됩니다.

임의의 품질 수치 K에 대해, N회 트라이 이후 K 이상의 품질을 갖게 될 확률은 다음과 같습니다.

확률 분포로부터, 매 시도 시 K이상의 품질을 얻게 될 확률을 p(K) 라 표시하겠습니다.

p (Quality >= K, conditional on # trial <= N)

= (1회차에 K이상의 품질을 얻게 될 확률) + … (+ N회차에 비로소 K이상의 품질을 얻게 될 확률) 

= p(K) + (1 – p(K)) * p(K) + (1 - p(K))^2 * p(K) + … (1 - p(K)^(N-1) * p(K)

= 1 – (1 – p(K))^N

유의해야할 것은,

 IV. 장에서 살펴본 확률표에서, 소수점 둘째 자리 이하의 값은 절삭처리하여 계산하였습니다.

예를 들어, 품질 100의 장비를 얻게 될 확률은 0.08%로 표기되나,

이 같은 표기가,

(1) 0.075%의 값을 반올림하여 나타난 값인지

(2) 정확하게 0.08%의 값이 적용되는 것인지

알 수 있는 방법이 없습니다.

따라서, 표기된 확률을 기준 (위의 (1), (2) 중 후자의 방법) 으로 계산하였습니다.

또한,

이미 장비 제작을 시도할 때 위의 확률표에 의해 장비의 품질이 결정되므로,

"이미 1회의 트라이" 를 한 것입니다.

이 점을 참고해서, 아래의 표를 보시면 됩니다.

■  트라이 횟수에 따른 품질 수치 분포 (10회)

■  트라이 횟수에 따른 품질 수치 분포 (30회)

■  트라이 횟수에 따른 품질 수치 분포 (100회)

■  트라이 횟수에 따른 품질 수치 분포 (300회)

■  트라이 횟수에 따른 품질 수치 분포 (1000회)

네.

놀랍게도 1000회를 시도하더라도 품질 95 이상을 달성하지 못할 확률이 1% 에 달합니다...

VI. 

목표 품질 달성을 위한

트라이 횟수 분포

대부분의 유저분들이 70, 80 또는 90 이상의 품질을 얻기 위해 무수히 많은 품질작을 도전하시리라 생각됩니다.

본 장에서는 목표 품질 달성을 위한 트라이 횟수 분포를 정리해두었습니다.

앞서 설명드렸듯, 모든 품질작은 독립시행입니다.

따라서 운이 좋은 경우 1회차 만에 성공하기도 하지만,

운이 극악으로 나쁜 경우 100,000회를 시도해도 성공하지 못합니다.

이를 감안하고 아래의 내용을 보셔야 합니다.

“V. 트라이 횟수에 따른 품질 수치 분포” 에서 살펴본 것처럼, 목표 품질을 K라 지칭하겠습니다.

또한, 이 때 K이상의 품질이 나올 확률을 p(K) 라 표시하겠습니다.

그러면,

(N-1) 회차 트라이까지 실패하고 비로소 N회차의 트라이 때 목표 품질 확률을 달성할 확률은,

다음과 같이 계산됩니다.

p (Quality >= K, conditional on  # of trial = N)

= (1 – p(K))^(N-1) * p(K)

이를 각 품질 수치에 대하여 트라이 횟수에 따른 목표 품질 달성 확률을 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.

직관적인 전달을 위해, N회 이하의 트라이로 목표 품질을 달성할 수 있는 ‘누적 확률’ 을 기준으로 삼았습니다.

■  품질 70 이상

■  품질 80 이상

■  품질 90 이상

■  품질 95 이상

VII. 

목표 품질 달성을 위한

기대 비용 및 가성비 측정

■  기대 비용

본 장에서는 “VI. 목표 품질 달성을 위한 트라이 횟수 분포” 의 자료를 바탕으로,

기대 트라이 횟수를 계산해보고 이에 따라 목표 품질별 가성비를 도출해보았습니다.

기대 트라이 횟수는, 위에서 언급했듯 운에 의한 편차가 매우 큽니다.

즉, 오히려 기대값 자체보다는 기대값의 분산 (Variance), 왜도 (Skewness) 등이 더 큰 의미를 가집니다.

그러나 여전히,

말 그대로 평균적인 케이스에 대해,

품질작을 위해 필요한 기대 비용을 계산해보는 것은 의미가 있다고 생각됩니다.

특히나,

모든 장비에 대해 품질 100을 목표로 업그레이드 시도를 할 수는 없기 때문에,

소위 어떤 품질에서 “주차”를 할지 결정하는 것에 도움이 될만한 주제라 생각하여,

아래의 분석을 따로 진행하였습니다.

굳이 시뮬레이션을 하지 않아도, 목표 품질에 따른 기대 비용 산식은 매우 간단하게 유도할 수 있습니다.

E(# of trial, conditional on Quality >= K)

= 1 * (1회차에 품질 K달성 확률) + 2 * (2회차에 품질 K달성 확률) + … n * (n회차에 품질 K달성 확률) + ...

= 1 * p(K) + 2 * p(K) * (1 - p(K)) + 3 * p(K) * (1 -p(K))^2 + … N * p(K) * (1 - p(K))^(N-1) + …

복잡한 것처럼 느껴지지만,

약간의 트릭을 활용해 정리할 수 있습니다.

(고교 수학 교육 과정에 흔히 나오는 방법입니다)

E(# of trial, conditional on Quality >= K)

= 1 / p(K)

의 형태로 매우 간단하게 정리됩니다.

즉, 트라이 횟수 기대값은 단순히 확률의 역수 (Reciprocal) 입니다.

이를 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.

■  가성비

품질에 따른 가성비를 산출하는 것은 개인의 주관이 개입될 수 밖에 없는 매우 애매한 문제입니다.

가격, 즉 기대 비용의 분포가 매우 넓게 퍼져있는 문제는 차치하더라도,

성능이라는 추상적인 개념을 객관적으로 계량화 할 수 있는 방법이 없습니다.

예를 들어,

추가 피해 +30% (품질 100) 무기는,

추가 피해 +10% (품질 0) 무기에 비해,

몇 배 더 성능 좋은 무기일까요?

(1) 혹자는 3배라고 생각할 수 있지만,

(2) 또 다른 누군가는 1.18배 (1.30/1.10 = 1.18) 라고 생각할 수도 있습니다.

(3) 또는, +10%의 품질은 기본으로 주어지는 것이므로,

이 수치를 차감하여 0 ~ 20 이라는 범위 내에서 각 수치 간의 비교를 척도로 삼을 수도 있습니다.

저는 (3)번의 방법이 가성비의 비교에서 가장 타당하다고 생각했습니다.

앞서 보신것처럼 고품질일수록 달성 확률이 매우 떨어지므로,

(1) 또는 (2)의 방법으로 계산할 경우, 고품질 장비의 가성비는 매우 극악으로 산출될 수 밖에 없습니다.

그러나 한편으로, 추가 수치가 품질의 제곱에 비례하는 것으로 보아,

게임사 측에서 품질 수치 관련 기획 시 고품질의 업그레이드를 지속적으로 유도하는 것을 의도한 것으로 판단됩니다.

따라서, 지극히 주관적인 의견으로 고품질의 성능에 좀 더 힘을 싣기 위한 방법으로 (3)번을 선택했습니다.

이 때 무기의 경우, 가성비는 다음과 같이 계산됩니다.

bc_ratio(K)

= (추가 피해 수치 – 10) / 기대 트라이 횟수

= p(K) * (0.002 * K^2))

방어구의 경우, 가성비는 다음과 같이 계산됩니다.

bc_ratio(K)

= (생명 활성력 수치) / 기대 트라이 횟수

= p(K) * (140 * 0.001 * K^2)

즉, 무기와 방어구 모두 p(K) * K^2 의 값에 비례하고, 나머지 값들은 상수일 뿐입니다.

여기서는, 각 품질 간의 가성비 비교를 하고자 함에 그 목적이 있으므로, 상수 값들은 아무런 의미를 가지지 못합니다.

따라서, p(K) * K^2 의 값을 기준으로 비교를 하는 것으로 충분합니다.

아래는 위의 기준을 바탕으로 가성비 값을 그래프로 그린 것입니다.

그래프에 적힌 수치 자체는 아무 의미가 없습니다.

품질 간 비교에 초점을 맞춰주시면 됩니다.

위의 가성비 기준을 적용한다면, 모든 장비는 품질 40 이상을 갖추는 것이 합당해보입니다.

위의 그래프 상으로는 40 이상의 품질일수록 가성비 수치가 떨어지긴 하나,

혼돈의 돌은 천둥날개나 군단장 레이드를 통해 공짜로 입수 가능하다는 점을 고려해보았을 때,

그 이상의 품질을 노려보는 것이 가성비 측면에서도 나쁜 선택이라 생각되진 않습니다.

또한, 주간 기준 군단장 레이드 교환 NPC 를 통해 혼돈의 돌을 조금 싼 가격으로 10개 수급 가능합니다.

이를 활용하여 품질작을 하는지의 여부는 사람마다 다르므로,

꼭 품질작 시도 비용은 품질작 시도 횟수와 비례한다고 보기는 어렵습니다.

다시 한 번 말씀드리지만, 위의 가성비 기준은 지극히 주관적인 판단이 개입된 영역입니다.

산출 로직이 매우 주관적임을 이해해주시고, 재미로만 봐주시면 되겠습니다.

VIII. 결론

특별한 결론은 없고… 본론의 내용이 곧 결론입니다.

이 글을 읽으시는 모두가 품질작에 성공하시기를 기원합니다!