맨 밑에 결론있음!!
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1. 게임 개요 및 규칙 정리
초기 상태 및 진행:
- 플레이어는 레벨 1에서 시작하며, 1레벨은 보상이 없고 자동으로 레벨 2로 진입한다고 볼 수 있습니다.
- 각 기회(즉, 한 판)는 최대 100번의 “도전(챌린지)”을 할 수 있는 독립적인 시도입니다.
- 보상은 오직 “멈춤(스탑)”을 선택할 때, 현재 단계의 안전 보상(R)을 바로 획득하는 방식으로 지급됩니다.
안전 보상 (멈춤 시 획득):
- 레벨 2: 1
- 레벨 3: 3
- 레벨 4: 6
- 레벨 5: 10
- 레벨 6: 15
- 레벨 7: 50
- 레벨 8: 150
- 레벨 9: 300 (최종)
도전 시 확률 (현재 레벨의 확률표 적용):
- 레벨 2:
• 성공 60% → 레벨 3로 진입
• 실패 40% → “하락 없음” → 계속 레벨 2에 머무름 - 레벨 3:
• 성공 50% → 레벨 4 진입
• 실패 50% → 하락하여 레벨 2로 복귀 - 레벨 4:
• 성공 40% → 레벨 5 진입
• 실패 60% → 하락하여 레벨 3로 복귀 - 레벨 5:
• 성공 30.7% → 레벨 6 진입
• 실패 69.3% → 하락하여 레벨 4로 복귀 - 레벨 6:
• 성공 20.5% → 레벨 7 진입
• 실패 76.5% → 하락하여 레벨 5로 복귀
• 도망 3% → 해당 기회를 조기 종료 (보상 0) - 레벨 7:
• 성공 10.3% → 레벨 8 진입
• 실패 85.7% → 하락하여 레벨 6로 복귀
• 도망 4% → 기회 종료 (보상 0) - 레벨 8:
• 성공 5% → 레벨 9 진입
• 실패 90% → 하락하여 레벨 7로 복귀
• 도망 5% → 기회 종료 (보상 0) - 레벨 9:
도달 시 즉시 300 보상을 획득하며 해당 기회는 종료됨
2. 동적 계획법(DP) 모델과 제한 도전 횟수 고려
각 기회를 “상태 (현재 레벨, 남은 도전횟수 n)”로 모델링합니다.
경계 조건:
• n = 0일 경우 더 이상 도전할 수 없으므로, 반드시 멈춤을 선택하여 현재 단계의 안전 보상 R를 획득
• 레벨 9에 도달하면 300 보상이 확정됨
상태 전이:
예를 들어, (레벨 3, n) 상태에서 도전을 선택하면
- 성공(50%) 시 (레벨 4, n–1)로 진입
- 실패(50%) 시 하락하여 (레벨 2, n–1)로 돌아감
각 상태마다 “멈춤”을 선택하면 즉시 R(해당 단계 보상)을 획득합니다.
도전의 EV 계산:
남은 도전횟수가 충분할 때(예, n=100)라면 DP 해를 구하면,
무한(또는 충분히 많은) 도전횟수에 가까운 경우와 유사한 가치가 나오지만,
말기(남은 n이 매우 적은 경우)에는 추가 도전의 기대치가 안전 보상보다 낮아지므로 “멈춤”을 선택하게 됩니다.
3. 수치적 분석 및 단계별 임계값
(수치적 DP 해를 근사적으로 분석한 결과)
초기(레벨 2부터):
대부분의 경우, 안전 보상은 매우 낮습니다(레벨 2: 1, 레벨 3: 3, …).
따라서 남은 도전횟수가 충분하다면 도전 선택 시 후속 단계로의 EV가 크게 상승합니다.
레벨 2 ~ 레벨 6:
각 단계에서 도전의 기대가치는 안전 보상보다 훨씬 높습니다.
예를 들어,
• 레벨 2에서 도전 시 EV는 0.60×V(3, n–1) + 0.40×V(2, n–1)로, n이 충분하면 V(2,100)가 50점대(대략 50~53점)로 수렴하는 경향이 있습니다.
• 레벨 6의 경우에도 도전 시 EV는 약 52점 내외로 산출되며, 이는 안전 보상 15보다 훨씬 높습니다.
레벨 7의 선택:
안전 보상은 50입니다.
레벨 7에서 도전 시에는
EV ≈ 0.103×V(8, n–1) + 0.857×V(6, n–1) + 0.04×0
무한 혹은 충분히 많은 도전횟수 하에서는 이 값이 약 46점 내외로 산출됩니다.
따라서 레벨 7에서는 도전보다 “멈춤”이 더 유리합니다.
레벨 8 이상:
안전 보상은 각각 150(레벨 8) 및 300(레벨 9)로 매우 크므로, 만약 우발적으로 도달한다면 즉시 멈춰야 합니다.
남은 도전횟수가 적을 경우:
말기(예, n이 5~10 이하)에는 미래 도전의 EV가 하락하므로, 현재 단계의 안전 보상이 미래 기회보다 더 높다면 당장 멈추는 것이 최선입니다.
4. 최적 전략 요약 (각 기회당)
(1) 일반 상황 – 충분한 도전 횟수 (예, n≈100):
- 레벨 2 ~ 레벨 6:
- 안전 보상이 낮으므로 항상 “도전”을 선택합니다.
- 실패 시 레벨이 하락(단, 레벨 2에서는 하락 없음)하더라도 재도전을 통해 높은 EV(약 50점대)를 추구할 수 있습니다.
- 레벨 7:
- 안전 보상 50과 도전 시 기대 EV(약 46)가 비교되므로,
- **대부분의 경우 최적 선택은 여기서 “멈춤”**하여 50의 보상을 확정하는 것입니다.
- 레벨 8 이상:
- 만약 실수로 도달하거나 남은 도전횟수가 많아 도전하는 상황이 발생해도,
- 안전 보상이 150(레벨 8) 또는 300(레벨 9)이므로 즉시 멈추어야 합니다.
(2) 말기 – 남은 도전횟수가 부족한 경우:
- 남은 횟수가 극히 적을 때(예, n이 1~2 남은 상황)에는 미래의 도전 기회가 제한되므로,
- 현재 단계의 안전 보상이 확정 가능한 최종 보상으로 작용하게 됩니다.
- 이 경우, 도전의 위험(도망으로 0 보상 전환)을 감안하여 즉시 “멈춤”하는 것이 바람직합니다.
5. 전체 12번 기회에서의 기대 효과
- 한 기회당 EV:
- DP 해석에 따르면 충분한 도전횟수(예, 100번)가 주어질 경우,
- 최적 전략(레벨 2
6 도전 후 레벨 7에서 정지)을 따르게 되면 한 기회당 기대 보상은 대략 **5053점** (보상 단위) 내외로 산출됩니다.
- 전체 12번 기회:
- 따라서 12번의 기회를 모두 최적 플레이한다면,
- 총 기대 보상은 대략 600점 내외가 목표치입니다.
6. 결론 및 전략 실행 시 유의점
- 주요 전략:
- 초반(레벨 2~6): 남은 도전횟수가 충분할 때는 반드시 도전하여 높은 후속 EV(50점대)를 노립니다.
- 전환점(레벨 7): 도전 시 위험(4% 도망, 85.7% 실패 후 하락 등) 때문에 안전 보상 50가 도전 EV(약 46)보다 높으므로, 이 지점에서 즉시 멈춤합니다.
- 말기 대응: 남은 도전횟수가 부족해지면, 더 이상의 도전으로 EV가 떨어지므로 현재 단계의 안전 보상을 확정하는 쪽으로 전환합니다.
- 추가 고려:
- 각 기회 내에서 “도전” 횟수를 관리하는 것이 매우 중요합니다.
- 100번이라는 도전 제한 내에서 최적의 기대치를 달성하기 위해, 상황별(남은 횟수, 현재 레벨)에 따른 유연한 결정이 필요합니다.
- 다행히 100번은 상당한 도전 여유를 주므로, 정상적인 상황에서는 레벨 7에 도달하면 거의 100% “멈춤” 선택이 최적이며, 레벨 7에서 8로 도전할 만한 상황은 거의 발생하지 않습니다.
최종 요약
- 최적의 기본 경로:
- 레벨 1 → 2: 자동 진입
- 레벨 2 ~ 6: 항상 도전 (도전 시 실패하더라도 재도전할 수 있으므로 높은 EV 추구)
- 레벨 7: 도전 EV가 약 46에 불과하므로, 안전 보상 50를 위해 반드시 멈춤
- 레벨 8 이상: 도달 시 즉시 멈춤 (150 이상 획득)
- 기회당 기대 보상: 약 50~53
- 전체 12회 기회 총 기대 보상: 약 600 정도
이 보고서는 각 기회마다 최대 100번의 도전 횟수가 주어졌을 때, DP 분석에 따른 최적 의사결정 및 보상 기대치를 바탕으로 작성되었습니다. 상황에 따라 남은 도전횟수가 줄어들 경우 보다 보수적으로 “멈춤” 선택을 할 필요가 있음을 유념하시기 바랍니다.
궁금해서 프롬프트 작성해서 계산해봤습니다! 참고용도로만 사용하시면 될 것 같아요 ㅎㅎ
한 가지 놀라운 건 생각보다 7 -> 8 도전도 터무니없는 짓은 아니라는 점이네요
Id쭈니야
4배 경쿠 / vip 부스터 효율적인 사용법
