저번 관찰글에서 시간끌기와 빨리 회전하는 측으로 많은 분쟁이 일어났습니다.
그래서 이번 글은, 지난 글에서 추론한 코인함수를 가지고 과연 원카드 시간끄는 것이 이득인지, 아니면 그냥 빨리 회전하는것이 이득인지 보도록 하겠습니다.
1편: http://www.inven.co.kr/board/maple/2304/21340?name=subject&keyword=관찰
(컴퓨터 화면에 최적화되어 있습니다)
("1편: 원카드 코인 습득에 대한 관찰" 부분을 많이 인용하였습니다. 이 부분을 보고 오셔야 이해가 됩니다)
(증명 과정을 이해하기 싫으시다면 요약 부분으로 ㄱ)
우선, 저번 통계를 이용하여 우리는 2가지를 추론할 수 있었습니다.
1. 코인함수 C(t, R)
2. 방 인구수(P)는 변수가 되지 못한다.
하지만, 사실 방 인구수(P)도 큰 변수로 자리잡을 수 밖에 없습니다. 왜냐하면 방 인구수에 따라 4등의 여부가 나뉘거든요. 따라서 이번에는 방 인구수별 전략을 소개시켜 드릴려 합니다.
1. 선결조건
분석에 있어 정확한 확률추론을 할 수 없기 때문에 다음과 같은 가정을 하고 시작하겠습니다.
1. 방은 1대1부터 1대3까지 걸릴 확률이 33.3%로 동일하다.
2. 1등부터 4등까지 할 확률은 전부 25%로 동일하다.
3. 재입장까지 걸리는 시간은 본인의 능력에 따라 최소로 측정한다(즉, 재입장까지 1시간 걸린다는 말은 성립하지 않음).
2. 원카드의 패턴 분석과 두 시점의 코인함수
전 글에서 사용한 변수를 가지고 보았을 때, 원카드의 패턴은 다음과 같이 이루어집니다.
하나의 주기: B->t->A->B->t .....
(여기서 B는 Before으로 원카드 방 입장부터 원카드 시작 전까지의 시간, t는 원카드 하는 시간
A는 After으로 원카드 종료 후 다음방까지 걸리는 시간)
원래는 t->A->t가 정상입니다만, 저번 분석에서 원카드 입장부터 시작 전까지의 시간을 측정하지 못하였기 때문에
새로운 변수 B를 추가시켰습니다. 즉, B+t가 원카드 전체 시간이 되는 것입니다(코인얻는시간!)
반면, A는 다음방까지 이동하는데 걸리는 시간으로, 기회비용상 코인을 잃는 시간이 되는 것입니다.
그리고 다시 하나의 주기를 보시면, (B->t)->[A->B->t]로 그룹을 묶을 수 있습니다.
여기서 소괄호 안의 (B->t)는 내가 지금 게임을 하고 있는 시간을 뜻합니다. 즉 현재 결정된 시점이죠
다음 대괄호 안의 [A->B->t]는 내가 다음에 게임을 할 시간을 뜻합니다. 이는 랜덤한 시점으로 일종의 기회비용이라 볼 수 있죠!
그렇다면, 우리는 이 그룹을 가지고 코인함수를 새울 수 있습니다
현재 결정된 시점: CN=n(B+t)
기회비용의 랜덤시점: CM=m(B+t-A)
(여기서 n과 m은 코인함수 t의 계수, 상수항은 시간당 코인습득 변화량을 측정하기 위해 제외함)
3. 시점의 비교
현재 결정된 시점을 통해 얻는 코인량이 기회비용의 랜덤시점을 통해 얻겠다고 예상되는 코인량보다 높다면,
당연히 존버가 정답일 겁니다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.
CN>CM -> n(B+t)>m(B+t-A)
4. 현재 시점이 "1대 3"일 경우 시간끌기 vs 빠르게 회전하기
현재 시점이 1대 3일 경우에는 시간끌기가 이득일까요?
우리는 저번 코인함수를 통해 4인방에서 얻을 수 있는 평균 코인함수가 8.399t+155.278인걸 알 수 있습니다.
그리고 저번에 구한 평균 코인함수는 10.223t+207.607인걸 알 수 있습니다.
이를 시점에 대입한다면, 현재 결정된 시점 CN은 8.399(B+t)인걸 알 수 있고,
기회비용의 랜덤시점 CM은 10.233t(B+t-A)인걸 알 수 있습니다.
(상수항은 버림)
이 식들을 3번 시점의 비교에 대입했을때, 시간끌기 전략이 이득이면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
8.399(B+t)>10.223(B+t-A)
(현 코인량>기회비용 코인량임)
위 식을 정리하면....
8.399(B+t)>10.223(B+t)-10.223A
-1.824(B+t)>-10.223A
1.824(B+t))<10.223A
A>0.178(B+t)
즉, 원카드 종료 후 다음방까지 들어가는 시간 A가 원카드 총 사용시간의 0.178배보다 낮으면 시간끌기 전략이 이득입니다.
만약, 여러분들이 원카드 종료 후 "재입장까지 10초"가 걸린다고 가정하면 1대3방에서 "57초"부터 시간끌기 전략이 "손해"가 된다는 것입니다.
다만, 재입장시간이 길수록 당연히 시간끌기믄 이득입니다. 상식적으로 재입장시간이 오래 걸리면 판의 회전율을 내리는게 이득이기 때문이죠. 하지만 이는 1번 선결조건을 위배하기 때문에 재입장시간은 최소화되어야 합니다. 그래서 재입장시간이 막 1시간되서 시간을 100시간까지 끄는게이득이라는 말은 성립하지 않는 것이죠,
결국, 1대3방에서 시간끌기 전략을 56초까지 해야 이득인 것이죠.
우리는 이를 통해!! 1대3방에 걸렸을 경우 시간끌기 전략은 절대 이득이 아닌 것을 수학적으로 알 수 있습니다 야호~
5. 현재 시점이 "1대2"일 경우 시간끌기 vs 빠르게 회전하기
만약 1대3이 아니라 현재 1대2 방에 들어간 경우는 어딸까요?
우리는 저번 코인함수를 통해 4인방에서 얻을 수 있는 평균 코인함수가 11.198t+210인걸 알 수 있습니다.
그리고 저번에 구한 평균 코인함수는 10.223t+206.607인걸 알 수 있습니다.
이를 시점에 대입한다면, 현재 결정된 시점 CN은 11.198(B+t)인걸 알 수 있고,
기회비용의 랜덤시점 CM은 10.233t(B+t-A)인걸 알 수 있습니다.
이 식들을 3번 시점의 비교에 대입했을때, 시간끌기 전략이 이득이면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
11.198(B+t)>10.223(B+t-A)
(현 코인량>기회비용 코인량임)
위 식을 정리하면....
11.198(B+t)>10.223(B+t)-10.223A
0.975(B+t)>-10.223A
A>-0.095(B+t)
당연히 A는 시간이라 양수이기 때문에, 1초부터 무조건 시간끌기 전략이 이득인 것을 알 수 있습니다.
1대1도 마찬가지겠죠~
_______
하.... 광활한 과정이었습니다. 수학적 부분을 봐주신 분 정말 고생 많으셨습니다.
<요약>
1. 당신이 만약 "재입장까지 10초"가 걸린다면, 1대3방에 걸린 경우 "57초부터 시간끌기 전략은 손해다."
즉, 1대3방에서는 시간끌기 전략이 손해다.
2. 1대2방과 1대1방은 무조건 시간끌기 전략이 이득이다.
3. 고로, 1대3방에서 빠르게하자!
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